فمتداخلان كثلاثة مع ستة أو تسعة) أو خمسة عشر، فإن الستة تفنى بإسقاط الثلاثة مرتين، والتسعة بإسقاطها ثلاث مرات، والخمسة عشر بإسقاطها خمس مرات لأنها خمسها. وسميا بذلك لدخول الأقل في الأكثر، فيكون الأكثر مدخولا فيه وإن اقتضى اللفظ دخول كل منهما في الآخر إذ ليس ذلك بمراد، وحكم المتداخل أنه يكتفي بالأكبر ويجعل أصل المسألة. (وإن) أي وإن اختلفا و (لم يفنهما إلا عدد ثالث فمتوافقان بجزئه) أي الثالث، (كأربعة وستة) بينهما موافقة، (بالنصف) لأنك إذا سلطت الأربعة على الستة يبقى منها اثنان سلطهما على الأربعة مرتين تفنى بينهما فقد حصل الأفناء باثنين، وهو عدد غير الأربعة والستة، فهما متوافقان بجزء الاثنين وهو النصف. وإن فني بثلاثة فالموافقة بالثلث، وهكذا إلى العشرة فبالعشر، لأن العبرة بنسبة الواحد إلى العدد الذي وقع به الأفناء، فما كانت نسبته إليه كانت الموافقة بتلك النسبة ونسبة الواحد إلى الاثنين النصف وإلى الثلاثة الثلث، وإن كان للعدد المفني أكثر من عشرة فالتوافق حينئذ بالاجزاء كجزء من أحد عشر جزءا أو نحو ذلك إلى ما لا نهاية له. فإن أفنى عددين أكثر من عدد واحد، فهما متوافقان بأجزاء ما في ذلك العدد من الآحاد كالاثني عشر والثمانية عشر تفنيهما الستة والثلاثة والاثنان، فهما متوافقان بالأسداس والأثلاث والأنصاف. والعمل والاعتبار في ذلك بالجزء الأقل، فيعتبر في هذا المثال السدس وفي المتوافقان بالأخماس والأعشار العشر، وعلى هذا القياس. وحكم المتوافقين أن تضرب وفق أحدهما في كامل الآخر، والحاصل أصل المسألة. (وإن) أي وإن اختلفا ولم يفن أكثرهما بأقلهما ولا بعدد ثالث، بأن (لم يفنهما إلا واحد) وليس بعدد بل هو مبدؤه، (تباينا كثلاثة وأربعة) لأنك إذا أسقطت الثلاثة من الأربعة يبقى واحد، فإذا سلطته على الثلاثة فنيت به وسميا متباينين لأن فنائهما بمباينهما وهو الواحد، لأنهما عددان والواحد ليس بعدد كما مر. وحكم المتباينين أنك تضرب أحد العددين في الآخر فانحصر حينئذ نسبة كل عددين أحدهما إلى الآخر في هذه الأربعة التماثل والتداخل والتوافق والتباين. (و) العددان (المتداخلان متوافقان) كثلاثة مع ستة أو تسعة، فالثلاثة داخلة في كل من الستة والتسعة موافقة لهما بالثلث. (ولا) عكس، أي ليس كل متوافقين متداخلين، فقد يكونان متوافقين ولا يدخل أحدهما في الآخر كستة مع ثمانية، لأن شرط التداخل أن لا يزيد على نصف ما دخل فيه. وإنما عرف المصنف في هذه الأحوال الأربعة توطئة لبيان التصحيح المترجم له بقوله:
فرع: أي في تصحيح المسائل، فإن تصحيحها موقوف على معرفة النسب الأربع. وإنما ترجم بالفرع لأنه مرتب على ما قبله، والمراد بتصحيحها بيان كيفية العمل في القسمة بين المستحقين من أقل عدد بحيث يسلم الحاصل لكل منهم من الكسر ولذلك سمي بالتصحيح. (إذا عرفت) أيها الطالب لتصحيح المسألة (أصلها وانقسمت السهام) في تلك المسألة (عليهم) أي الورثة، (فذاك) ظاهر لا يحتاج لضرب: كزوج وثلاثة بنين هي من أربعة لكل منهم واحد، وكزوجة وثلاثة بنين وبنت هي من ثمانية للزوجة واحد وللبنت واحد ولكل ابن اثنان (وإن انكسرت) تلك السهام (على صنف) منهم سهامه، (قوبلت) سهامه (بعدده) أي رؤوس ذلك الصنف الذي انكسر عليه. (فإن تباينا) أي السهام والرؤوس، (ضرب عدده في المسألة) إن لم تعل وفيها (بعولها إن عالت) فما اجتمع صحت منه المسألة، مثاله بلا عول:
زوجة وأخوان، هي من أربعة للزوجة أربعة أسهم وللأخوين ثلاثة أسهم منكسرة عليهما، فاضرب عددهما في المسألة وهو أربعة تبلغ ثمانية ومنها تصح، ومثالها بالعول: زوج وخمس أخوات لغير أم أصلها من ستة وتعول إلى سبعة للزوج ثلاثة وللأخوات أربعة وهي لا تصح عليهن ولا توافق، فاضرب عددهن وهو خمسة في المسألة بعولها وهو سبعة تبلغ